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2019/02/13 0:24

TOP8ラインを簡単に計算しよう

皆さん、こんにちは。
こないだKMCに出た時に、対戦相手の方と話題にあがったので、ここに書いておきます。

問題:128人が参加している大会で7回戦を行ったとき、TOP8に残るためには何勝以上必要か

今回の記事は↑の問題を解くというだけの話です。

さて、話を簡単にするために、まずは8人3回戦の場合を考えましょう。

各試合での勝敗と、その時の人数を表すと、以下のようになります。

図に書くとこんな感じになります。
この図を見ると

3-0が1人
2-1が3人
1-2が3人
0-3が1人

という成績になることがわかります。

実はこの図はパスカルの三角形と呼ばれるものと同じ形になっていまして、これを用いることでだいたいのTOP8ラインが見えてきます。
とはいえ、ここでごちゃごちゃとややこしいことを言っても仕方ないので、簡単な結論だけ書くことにします。

スイスドローがn回戦で、参加者数が2のn乗人の時、全勝は一人、1敗はn人発生する
ということになります。
例えば、先ほどの例でいえば7回戦で、参加者が128人(2の7乗)なので、7-0が1人、6-1が7人ということになります。

他にも、

16人参加の4回戦なら4-0が一人、3-1が4人
32人参加の5回戦なら5-0が一人、4-1が5人
64人参加の6回戦なら6-0が一人、5-1が6人
256人参加の8回戦なら8-0が一人、7-1が8人(ってことは、256人参加の8回戦だと、1敗ではオポ次第で落ちちゃう可能性があるってことですね。)

もちろん、引き分けを考慮すると少しずれが出ますし、参加者が128人より少ない場合は、6-1の人数が6人ということになる場合もありますので、その点は適宜いじる必要があるかと思います。

まぁ考え方としては、

スイス7回戦なら「もし128人参加者がいたら6-1がTOP8ライン。今回は参加者が106人だから、ラインが少し下がって5-2でオポワンチャン」

って感じになると思います。


以下、余談

パスカルの三角形は組み合わせに相当するので、2敗する人数とかも計算できます。

たとえば128人参加の7回戦の場合、5-2は「7回戦の内2回負ける負け方の組み合わせ」に相当しますので、C(7,2)になり

C(7,2) = 7!/(5! * 2!) = 21になります。ですので、128人参加の7回戦なら5-2は21人ということになります。

と、まぁこんな感じでやればだいたいのラインは見えてきますね。

今回はここまでで!